3.187 \(\int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=85 \[ -\frac{\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \sin ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x) \text{Hypergeometric2F1}\left (\frac{1-m}{2},\frac{m+4}{2},\frac{m+6}{2},\cos ^2(a+b x)\right )}{b (m+4)} \]

[Out]

-((Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x
]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(4 + m)))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.0712569, antiderivative size = 85, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 2, number of rules used = 2, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.1, Rules used = {4309, 2576} \[ -\frac{\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \sin ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x) \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{m+4}{2};\frac{m+6}{2};\cos ^2(a+b x)\right )}{b (m+4)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

-((Cos[a + b*x]^3*Cot[a + b*x]*Hypergeometric2F1[(1 - m)/2, (4 + m)/2, (6 + m)/2, Cos[a + b*x]^2]*(Sin[a + b*x
]^2)^((1 - m)/2)*Sin[2*a + 2*b*x]^m)/(b*(4 + m)))

Rule 4309

Int[(cos[(a_.) + (b_.)*(x_)]*(e_.))^(m_.)*((g_.)*sin[(c_.) + (d_.)*(x_)])^(p_), x_Symbol] :> Dist[(g*Sin[c + d
*x])^p/((e*Cos[a + b*x])^p*Sin[a + b*x]^p), Int[(e*Cos[a + b*x])^(m + p)*Sin[a + b*x]^p, x], x] /; FreeQ[{a, b
, c, d, e, g, m, p}, x] && EqQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[d/b, 2] &&  !IntegerQ[p]

Rule 2576

Int[(cos[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(a_.))^(m_)*((b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> -Simp[(b^(2*IntPar
t[(n - 1)/2] + 1)*(b*Sin[e + f*x])^(2*FracPart[(n - 1)/2])*(a*Cos[e + f*x])^(m + 1)*Hypergeometric2F1[(1 + m)/
2, (1 - n)/2, (3 + m)/2, Cos[e + f*x]^2])/(a*f*(m + 1)*(Sin[e + f*x]^2)^FracPart[(n - 1)/2]), x] /; FreeQ[{a,
b, e, f, m, n}, x] && SimplerQ[n, m]

Rubi steps

\begin{align*} \int \cos ^3(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x) \, dx &=\left (\cos ^{-m}(a+b x) \sin ^{-m}(a+b x) \sin ^m(2 a+2 b x)\right ) \int \cos ^{3+m}(a+b x) \sin ^m(a+b x) \, dx\\ &=-\frac{\cos ^3(a+b x) \cot (a+b x) \, _2F_1\left (\frac{1-m}{2},\frac{4+m}{2};\frac{6+m}{2};\cos ^2(a+b x)\right ) \sin ^2(a+b x)^{\frac{1-m}{2}} \sin ^m(2 a+2 b x)}{b (4+m)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 13.303, size = 2472, normalized size = 29.08 \[ \text{Result too large to show} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[Cos[a + b*x]^3*Sin[2*a + 2*b*x]^m,x]

[Out]

(2^(1 + m)*(6*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*Appel
lF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1
+ 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Ta
n[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*Cos[a + b*x]^3*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a +
b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Sin[2*(a + b*x)]^m*Tan[(a + b*x)/2])/(b*(1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x
)/2]^2)^m*((2^m*(6*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*
AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -
m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/
2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(1 + 2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/
2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m)/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) + (2^(1 + m)*m*(6*AppellF1[(1 + m
)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m),
(3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*
x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b
*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2]))^(-1 + m)*(
Cos[(a + b*x)/2]*(-Cos[(a + b*x)/2]/2 + (3*Cos[(3*(a + b*x))/2])/2) - (Sin[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + S
in[(3*(a + b*x))/2]))/2)*Tan[(a + b*x)/2])/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) + (2^(2 + m)*m*(6*App
ellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2, -m
, 2*(2 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2,
Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] + Sin[(3*(a + b*x))/2])
)^m*Tan[(a + b*x)/2]^2)/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m) - (2^(1 + m)*m*(6*AppellF1[(1 + m)/2, -m
, 2*(1 + m), (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] + 8*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 2*(2 + m), (3 + m
)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - AppellF1[(1 + m)/2, -m, 1 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2
, -Tan[(a + b*x)/2]^2] - 12*AppellF1[(1 + m)/2, -m, 3 + 2*m, (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^
2])*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^(-1 - m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2]
+ Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]*(-(Sec[(a + b*x)/2]^2*Sin[a + b*x]) + Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/
2]^2*Tan[(a + b*x)/2]))/(1 + m) + (2^(1 + m)*(Sec[(a + b*x)/2]^2)^(2*m)*(Cos[(a + b*x)/2]*(-Sin[(a + b*x)/2] +
Sin[(3*(a + b*x))/2]))^m*Tan[(a + b*x)/2]*((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 1 + 2*m, 1 + (3 + m)/2,
Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m) + ((1 + m)*(1 + 2*m)*App
ellF1[1 + (1 + m)/2, -m, 2 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*T
an[(a + b*x)/2])/(3 + m) - 12*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 3 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*
x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - ((1 + m)*(3 + 2*m)*AppellF1[1 +
(1 + m)/2, -m, 4 + 2*m, 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*
x)/2])/(3 + m)) + 6*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 2*(1 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2,
-Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - (2*(1 + m)^2*AppellF1[1 + (1 + m)/2, -m,
1 + 2*(1 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(
3 + m)) + 8*(-((m*(1 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, 1 - m, 2*(2 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a
+ b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3 + m)) - (2*(1 + m)*(2 + m)*AppellF1[1 + (1 + m)/2, -m, 1
+ 2*(2 + m), 1 + (3 + m)/2, Tan[(a + b*x)/2]^2, -Tan[(a + b*x)/2]^2]*Sec[(a + b*x)/2]^2*Tan[(a + b*x)/2])/(3
+ m))))/((1 + m)*(Cos[a + b*x]*Sec[(a + b*x)/2]^2)^m)))

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.992, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left ( \cos \left ( bx+a \right ) \right ) ^{3} \left ( \sin \left ( 2\,bx+2\,a \right ) \right ) ^{m}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

[Out]

int(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (\sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)**3*sin(2*b*x+2*a)**m,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \sin \left (2 \, b x + 2 \, a\right )^{m} \cos \left (b x + a\right )^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cos(b*x+a)^3*sin(2*b*x+2*a)^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sin(2*b*x + 2*a)^m*cos(b*x + a)^3, x)